El momento de inercia, que se indica mediante el símbolo I, consiste en una medida de la inercia rotacional de un sólido. Cuando un sólido rota con respecto a uno de sus ejes principales de inercia, la inercia rotacional se puede representar como una magnitud vectorial denominada momento de inercia. Se utiliza, en especial, para el cálculo de estructuras.
No obstante, en la situación mas genérica posible, la inercia rotacional se representa mediante un compuesto de momentos inercia y componentes que constituyen el denominado tensor de inercia. La identificación tensorial es imprescindible para el estudio de sistemas complejos, como los movimientos giroscópicos.
El momento de inercia describe cómo se distribuyen las masas de un sólido o de un grupo de elementos en rotación con respecto a un eje de giro. El momento de inercia depende exclusivamente de la geometría del solido y de la situación del eje sobre el que gira, no esta influenciado por las fuerzas que generan el movimiento.
En un movimiento rectilíneo uniforme, el momento de inercia realiza una función similar a la de la masa inercial. Siendo el valor escalar del momento angular longitudinal del cuerpo rígido.
Cálculo del momento de inercia: ecuaciones
La fórmula con la que se realizará el cálculo cambiará según el tipo de sistema que estemos analizando.
En un sistema de elementos con eje arbitrario
El momento de inercia se determina mediante la suma de los productos de las masas (m) de los elementos, multiplicados por el cuadrado de cada distancia mínima (r) de cada elemento a su eje.
Se obtiene mediante la expresión:
I=∑ [ mi • ri2 ]
En el caso de un sólido con masa homogénea
Se simplifica de la siguiente manera:
I=∫m [ r2 dm=∫V [ρr2 dV] ]
En la integral, el subíndice V señala que es necesario integrar en todo el volumen del sólido, resolviéndolo mediante una triple integral.
En el movimiento rotacional, esta idea realiza una función similar a la de la masa inercial para el caso del movimiento rectilíneo uniforme. Se define la masa inercial como la oposición que muestra un sólido a ser acelerado en un movimiento de traslación, y el momento de inercia como la oposición que muestra el solido a ser acelerado en un movimiento de rotación.
Por ejemplo, la segunda ley de Newton:
F=m • a
Se puede desarrollar para la rotación como:
τ=I • α
Siendo:
- Ƭ: Torque que se aplica al sólido
- I: Momento de inercia del solido relativo al eje rotacional
- α: Aceleración angular (d^2 θ) / [dt]2
Valido si la distancia al sistema de referencia permanece constante.
Un sólido en movimiento con velocidad (v)
Tiene una energía cinética definida por la expresión:
Ec=1/2 mv2
Si el sólido está en rotación con una velocidad angular (w)
La expresión que define su energía cinética es:
Ec=1/2 Iw2
Siendo:
- I: Momento de inercia referente al eje de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o el momento lineal tienen como equivalente la conservación del momento angular (L), de forma que:
L=Iw
Generalmente, el vector momento angular (v) no posee la misma dirección que el vector velocidad angular (w). Los dos vectores tendrían la misma dirección si el eje de giro coincide con el eje principal de inercia.
Si un eje es de simetría, será un eje principal de inercia. Un giro alrededor del eje lleva a un momento angular al lo largo de este eje.
Cuando un eje es de simetría, es eje principal de inercia. Un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.
Teorema de Steiner o de ejes paralelos
El teorema indica:
El momento de inercia referente a un eje paralelo que cruza el centro de masas, es igual que el momento de inercia referente al eje que cruza por el centro de masas sumado al producto de la masa multiplicado por el cuadrado de la distancia entre ejes.
Se define según la expresión:
Ieje=Ieje(CM) + Mh2
Siendo:
- Ieje: Momento de inercia referente al eje paralelo al que cruza el centro de masas.
- Ieje(CM): Momento de inercia del eje que cruza en centro de masas.
- M: Masa total
- h: distancia entre los ejes paralelos
Cálculo del momento de inercia de áreas compuestas
Este método se puede emplear para calcular el momento de inercia de una viga o para el cálculo del momento de inercia de perfiles.
- Se divide el área compuesta en secciones simples
- Se determina el área de casa sección, y se simboliza como A1, A2, …, An.
- Se definen las coordenadas del centro de masas de cada sección (xi,yi), con referencia a los ejes X e Y. Se calcula el centro de masas (xG,YG) de todo el cuerpo constituido por las secciones simples.
- Se obtienen las distancias de los centros de masas de cada sección respeto al centro de masas del cuerpo completo.
- Se determinan los momentos de inercia de las secciones con referencia a sus ejes de centro de masas (paralelos a x e y).
- Se determina para cada sección referente a los ejes x e y utilizando el teorema de Steiner.
Procedemos al cálculo de los momentos de inercia del cuerpo compuesto a partir de los valores obtenidos en el punto anterior.
Momentos de inercia para cuerpos simétricos
En la siguiente tabla se muestran los momentos para solidos rígidos homogéneos, con ejes rotacionales perpendiculares al plano de simetría del solido que contiene el centro de masas, como el momento de inercia del cono o el momento de inercia del cilindro.
Programa para calcular momento de inercia
Existen programas para calcularlo, mediante la introducción de los distintos parámetros de masa, distancia, tipo de sólido… el programa realiza los cálculos de inercia.
Como ejemplo de programa de cálculos de inercia se encuentra la calculadora de SkyCiv, que permite calcula el momento de inercia online de forma gratuita.
También es posible realizar el cálculo del momento de inercia en Excel mediante hojas preconfiguradas o insertando las fórmulas correspondientes.